b + il vient. Considérons une intégrale définie x ] ( . α C b 2 ( ( {\displaystyle (x-t)_{+}=\max(x-t,0)} En analyse numérique, il existe une vaste famille d’algorithmes dont le but principal est d’estimer la valeur numérique de l’intégrale définie sur un domaine particulier pour une fonction donnée (par exemple l’intégrale d’une fonction d’une variable sur un intervalle). q [ 2 Avec m points pour la fonction et 2 points pour sa dérivée, il en découle une méthode. Partant d’une décomposition régulière de [a , b] en n sous-intervalles de longueur h = (b – a)/n, soit les intervalles Jk = [a + k h, \, a + (k+1) h] pour 0 ≤ k < n, l’application de la formule de quadrature précédente à chaque Jk s’effectue à l’aide d’une transformation affine, permettant ainsi d’obtenir une approximation In(f) de i qui s’écrit : Cette relation est la formule composite associée à une formule de quadrature générale. Une transformation affine permet de transposer la formule sur un morceau particulier. , 0 La même approche peut se révéler opportune pour intégrer une fonction régulière, mais dont la variabilité est très dissemblable d’une zone à l’autre. {\displaystyle \xi \in ]a,b[} f + x Par ailleurs, l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à chaque Jk implique : En choisissant pour des fonctions de classe ) + = {\displaystyle O(h^{2n+2})} , i ∑ ) ( ( Création le 15 Oct 2012. k b {\displaystyle {\frac {\sqrt {q}}{(b-a)\sigma }}\,E_{q}(f)} f i ) Pour intégrer une fonction f sur un intervalle [a , b], la méthode de Monte-Carlo est ici mentionnée à titre « presque anecdotique » : sa performance reste en effet très limitée et son coût de traitement élevé à cause du grand nombre d’évaluations de f qui sont nécessaires pour espérer obtenir un résultat significatif. Ceci s’explique par le fait que l’écart d’intégration de la méthode du point milieu donne lieu à deux erreurs d’évaluation, de valeurs absolues égales et de signes opposés. + − Ainsi gi'(u) = f'(u) et l’intégrale de gi sur Ji est nulle. q , [ Puisque la méthode de Monte-Carlo est d’ordre 0, on peut supposer sans restreindre la généralité que l’intégrale de f est nulle. ρ La méthode du point milieu est plus efficace si la fonction est dans E f 2 α 1 ( E i Cette fonction est appelée noyau de Peano lié à la méthode. ) ) b ′ {\displaystyle f(\mu )=0} , b β b {\displaystyle [0,(\pi )^{\frac {1}{2}}]} ∑ 0 | = On donne ici quelques calculs du noyau de Peano. {\displaystyle \sum _{j=0}^{p'}\beta _{j}\,g'(y_{j})} ( p x ) a x [ ′ d a Il s’agit d’une sorte d’anomalie où se produisent des compensations bénéfiques à l’ordre de la méthode. = m ] La notation indique que la dérivée seconde intervient également en m" points équidistants. ( ( ) I ] En application des formules composites des diverses méthodes, le graphique ci-contre présente le nombre de chiffres significatifs exacts (soit Par conséquent. ! ( ) Les résultats suivants permettent de caractériser la distribution de l’erreur et son écart type : Alors la distribution de ∈ {\displaystyle I_{[0,1]}(g)=\sum _{i=0}^{p}\alpha _{i}\,g(x_{i})} ∈ x , ω 0 + C a ceci pour k entre 0 et n–1. , | C ( ( Méthode de calcul d'intégrale à une dimension, Mise en œuvre : décomposition de l'intervalle en morceaux, Formules utilisant des valeurs des dérivées de la fonction, Lien entre ordre de la formule de quadrature et convergence de la méthode, Généralisation : formules de Newton-Cotes NC-, Méthode de calcul d'intégrale de forme particulière, Méthode de calcul d'intégrale à plusieurs dimensions, Erreur de la méthode de quadrature de Gauss. The Riemann sum is an approximation of the integral and per se not "exact". Remarque : ce développement n’a pas pour objectif de déterminer la constante C la plus faible. {\displaystyle E_{J_{i},q_{i}}(f)} Tweeter Suivre @CoursPython. n 2 Cette méthode est d’ordre 0 puisqu’elle donne un résultat exact pour toute fonction constante (même avec un unique tirage). S’agissant de choisir une méthode d’intégration numérique, cette méthode ne doit pas être négligée, en particulier lorsque la fonction est régulière. + μ 10 ∈ b ) b ( ( {\displaystyle {\mathcal {N}}\left(0,\,{\frac {(b-a)^{2}}{q}}\sigma ^{2}\right). ∈ , alors, où la fonction Kn est une fonction définie sur [a , b] par. b ≤ C Si la formule de quadrature comporte des termes du type ⁡ tel que, QSS, méthode d'intégration à événements discrets. {\displaystyle F(x)=-{\frac {1}{2}}\,\cos(x^{2})} Pour la méthode de Monte-Carlo, le nombre, Dans les calculs, la méthode de Romberg n’a pas été traitée dans le cadre où elle présente ses meilleures performances théoriques. ∈ , 1 0 , j O I {\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{b-a}}. ] En fait, à chaque groupe de q tirages correspond une estimation particulière de l’intégrale, c'est-à-dire une réalisation d’une variable aléatoire Iq(f) dont la distribution dépend de f, de [a, b] et de q. h ) An overview of the module is … ) x ( f n E = ( {\displaystyle f\in C^{2m+2}} En interpolant f par un polynôme de degré 2 (3 degrés de liberté), 3 points (ou conditions) sont nécessaires pour le caractériser : les valeurs aux extrémités a, b, et celle choisie en leur milieu m = (a + b) / 2. ξ ) x {\displaystyle {\mathcal {C}}_{I}^{m+1}([a,\,b])} ‖ y Imposer des bornes à la fonction est aussi une mauvaise idée : la contribution élaguée n’est pas négligeable et la régularité est partiellement perdue. , f ) Cette question est développée plus loin pour quelques formules de quadrature particulières. . m 0 , L'erreur pour cette méthode d'ordre 1 s'écrit : Il vient alors, par application du deuxième résultat : Le noyau de Peano pour cette méthode d'ordre 1 s'écrit : On sait que la méthode de quadrature de Gauss de degré m est d'ordre 2m+1. Afin de permettre une comparaison avec les autres approches, elle a en effet été appliquée sur chacun des. 2 [ ] ) Alors le noyau de Peano K2m+1 est positif et pour tout La conclusion découle alors du 1er résultat. sup Le tableau suivant résume les performances théoriques de chaque méthode : Afin d’illustrer par un exemple les résultats numériques obtenus avec les diverses méthodes, considérons le cas particulier de la fonction f (x) = x sin(x2) et son intégrale sur l’intervalle , [ m On suppose que la formule de quadrature s'écrit L'intégrale est une forme linéaire en la fonction f. Le noyau de Peano permet de contrôler l'erreur, notamment par les deux résultats suivants : Si ] La méthode de Simpson est basée sur un polynôme de degré 2 (intégrale d’une parabole), tout en restant exacte pour des polynômes de degré 3 ; elle est donc d’ordre 3 : Remarque : comme la méthode du point milieu qui caractérise un polynôme de degré 0 et qui reste exacte pour tout polynôme de degré 1, la méthode de Simpson caractérise un polynôme de degré 2 et reste exacte pour tout polynôme de degré 3. ⁡ = En interpolant f par un polynôme de degré 1, les deux points d'interpolation (a, f (a)) et (b, f (b)) suffisent à tracer un segment dont l’intégrale correspond à l’aire d’un trapèze, justifiant le nom de méthode des trapèzes qui est d’ordre 1 : Conformément aux expressions de l’erreur, la méthode des trapèzes est souvent moins performante que celle du point milieu. Les cas singuliers de ce type sont les suivants : (1, 0, Méthode de surrelaxation successive (SOR), https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Calcul_numérique_d%27une_intégrale&oldid=170746720, Article contenant un appel à traduction en anglais, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. ( ( , = 1 a Sur chaque intervalle, on réalise ainsi l’approximation … , + Si xi désigne les points d’évaluation de f (i entre 0 et m – 1) : Concernant l’erreur globale d’une formule de quadrature linéaire d’ordre p, elle est donnée par, Ce procédé permet ainsi une généralisation des formules de Newton-Cotes. Le but est d'obtenir une approximation d'une intégrale définie du type $$ J = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x $$ pour une certaine fonction \( f:[a,b] \to \mathbb{R} \) trop compliquée pour a priori déterminer la valeur de \( J \) à la main. 0 ) | N {\displaystyle f\in L^{\infty }([a,b]).}. {\displaystyle I_{n}(f)=h\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{p}\alpha _{i}\,f(a+hk+hx_{i})} 2 Par contre, ce n’est pas le cas pour f '' . − La formule de quadrature fait intervenir des valeurs pondérées de la fonction (et parfois également celles de sa dérivée) en certains nœuds : les coefficients de pondération et les nœuds dépendent de la méthode employée. ∞ M {\displaystyle |f(x)|\leq |x-\mu |\|f'\|_{\infty }} 2 μ = Avec m points, il en découle une méthode. i Supposons également que la fonction f à intégrer comporte une singularité à une des bornes de l'intervalle .